Wektory w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej

Dwa różne punkty \( A( x_{A},y_{A},z_{A}) \), \( B(x_{B},y_{B},z_{B}) \in \mathbb{R}^{3} \) wyznaczają dwa wektory:

\( \overrightarrow{AB}=( x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}), \)

tj. wektor o początku w punkcie \( A \) i końcu w punkcie \( B \) oraz

\( \overrightarrow{BA}=( x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}), \)

tj. wektor o początku w punkcie \( B \) i końcu w punkcie \( A \). Wektor \( \overrightarrow{BA} \) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora \( \overrightarrow{AB} \)
(zob. Rys. 1 ). Zgodnie z definicją wprowadzonych poniżej działań na wektorach, suma dowolnego wektora oraz wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy \( \overrightarrow{0}=(0,0,0) \), tj.

\( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BA}= \overrightarrow{0}. \)

Z tego powodu wektor przeciwny do wektora \( \overrightarrow{AB} \) będziemy również oznaczać jako \( - \overrightarrow{AB} \), tj.

\( \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. \)

Rysunek 1: Wektory wzajemnie przeciwne.

Działania na wektorach

Definicja 1: Działania na wektorach

Niech \( \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3} \) oraz \( \overrightarrow{w}=(w_{x},w_{y},w_{z}) \in \mathbb{R}^{3} \) będą dwoma wektorami oraz niech \( \alpha \in\mathbb{R} \). Możemy wówczas zdefiniować wektor

\( \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y},v_{z}+w_{z}) \)

nazywany sumą wektorów \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) oraz wektor

\( \alpha \cdot \overrightarrow{v}=( \alpha v_{x},\alpha v_{y},\alpha v_{z}) \)

nazywany iloczynem wektora \( \overrightarrow{v} \) przez skalar \( \alpha \).

Rysunek 2: Działania na wektorach

Twierdzenie 1: Własności dodawania wektorów

Niech \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^{3} \) będą dowolnymi wektorami. Działanie dodawania wektorów ma następujące własności:

jest łączne, tj.
\( \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}; \)
jest przemienne, tj.
\( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}; \)
posiada element neutralny - jest nim wektor zerowy \( \overrightarrow{0}=(0,0,0) \), tj.
\( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}; \)
suma dowolnego wektora i wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy, tj.
\( \overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}. \)

Twierdzenie 2: Własności mnożenia wektora przez skalar

Niech \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^{3} \) będą dowolnymi wektorami oraz niech \( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \). Wówczas

\( \alpha \cdot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})= \alpha \cdot \overrightarrow{u}+ \alpha\cdot \overrightarrow{v} \);
\( (\alpha+\beta)\cdot \overrightarrow{u}=\alpha \cdot \overrightarrow{u}+\beta \cdot \overrightarrow{u} \);
\( 0 \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} \).

Długość wektora

Definicja 2: Długość wektora

Z dowolnym wektorem \( \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3} \) możemy stowarzyszyć liczbę nieujemną \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \) określoną wzorem

\( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}%}; \)

liczbę tę nazywamy długością wektora \( \overrightarrow{v} \).

Twierdzenie 3: Własności długości wektora

Niech \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^{3} \) będą dowolnymi wektorami oraz niech \( \alpha \in \mathbb{R} \). Wówczas:

\( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =0\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0} \);
\( \left\Vert \alpha\cdot\overrightarrow{v}\right\Vert =\left\vert \alpha\right\vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \);
\( \left\Vert \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert +\left\Vert \overrightarrow {w}\right\Vert \).

Warunek trzeci twierdzenia Własności długości wektora nazywany jest warunkiem trójkąta. Nazwę tę można uzasadnić w następujący sposób: długość każdego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych jego boków (zob. Rys. 3 ), tzn. jeżeli wektory \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \) tworzą trójkąt, to:

\( \left\Vert \overrightarrow{u} \right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert+ \left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert, \hspace{1cm}\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert+\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert, \hspace{1cm}\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert. \)

Rysunek 3: Warunek trójkąta: a) spełniony; b) niespełniony

Ta sama informacja zawarta jest w warunku (zob. Rys. 4 )

\( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \leqslant \left\Vert\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}\right\Vert+\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert, \)

który równoważny jest warunkowi trzeciemu twierdzenia Własności długości wektora.

Rysunek 4: Warunek trójkąta

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka